sexta-feira, 20 de março de 2009

ORIGEM DOS SINAIS

ORIGEM DOS SINAIS

Adição ( + ) e subtração ( - )

O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d'Eger publicada em Leipzig em 1489.

Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio (Cajori vol. 1, página 128).

Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557 .

Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não

Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus

Multiplicação ( . ) e divisão ( : )

O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um ponto entre os fatores.

Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão.

O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: " eu não gosto de X como um símbolo para a multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que eu uso também para a divisão. "

As formas a/b e , indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor.

A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal:, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal , segundo Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e :

Sinais de relação ( =, <> )

Roberto Record, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.

Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os dois membros da igualdade.

Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.

Raciocínio lógico

1.Você está numa cela onde existem duas portas, cada uma vigiada por um guarda. Existe uma porta que dá para a liberdade, e outra para a morte. Você está livre para escolher a porta que quiser e por ela sair. Poderá fazer apenas uma pergunta a um dos dois guardas que vigiam as portas. Um dos guardas sempre fala a verdade, e o outro sempre mente e você não sabe quem é o mentiroso e quem fala a verdade. Que pergunta você faria?

A resposta está abaixo, mas pense depois passe o mouse, está em fonte branca.

R.: Pergunte a qualquer um dos guardas: Segundo o outro guarda, Qual a porta que da para a liberdade? e saia pela outra porta. Porque se você perguntar para o mentiroso, este indicaria a porta que leva a morte. Se você perguntar para o outro, este, sabendo que o outro sempre mente, tambem indicaria a porta que leva a morte. Ok!
2.Você é prisioneiro de uma tribo indígena que conhece todos os segredos do Universo e portanto sabem de tudo. Você está para receber sua sentença de morte. O cacique o desafia: "Faça uma afirmação qualquer. Se o que você falar for mentira você morrerá na fogueira, se falar uma verdade você será afogado. Se não pudermos definir sua afirmação como verdade ou mentira, nós te libertaremos. O que você diria?

R.: É só afirmar que você morrerá na fogueira. Porque se você realmente morrer na fogueira, isto é uma verdade, então você deveria morrer afogado, mas se você for afogado a afirmação seria uma mentira, e você teria que morrer na fogueira. Mesmo que eles pudessem prever o futuro, cairiam neste impasse. Ok!
3.Um grande empresário na necessidade de ir a São Paulo, chegou a seu guarda noturno e ordenou que ele o acordasse às 6 horas da manhã em ponto. Exatamente às 6:00 da manhã o guarda acordou o empresário e disse:
- Patrão, estou com um mal pressentimento: sonhei esta noite que o senhor teria um acidente com o avião e me permita sugerir que não viaje.
O empresário nã deu ouvidos ao guarda. Sem incidentes, chegou a São Paulo e por telefone mandou demitir o guarda. Por quê?


R.: Guardas noturnos não devem dormir em serviço. Ok!

4.Um pastor diz para outro: "Dê um de seus carneiros que ficamos com igual número de carneiros." O outro responde:
"Nada disso, dê-me um de seus carneiros que ficarei com o dobro dos seus". Quantos carneiros têm cada um?


R.: 5(cinco) e 7(sete). Ok!

5.Uma lesma deve subir um poste de 10 metros de altura. De dia sobe 2m e à noite desce 1m. Em quantos dias atingirá o topo do poste?

R.: 9(nove) dias. No nono dia a lesma sobe 2(dois) metros, atinge o topo e evidentemente não desce 1 metro. Ok!

6. Que horas são quando um elefante senta em cima do seu carro?

R.: Hora de comprar um carro novo!!! Ok!

7. 200 burros estão andando em fila, um burro cai ele olha paras trás, quantos burros ele vai contar?

R.: Nenhum, burros não contam. Ok!

sábado, 28 de fevereiro de 2009

Teste de Einstein

Teste de Einstein


Albert Einstein escreveu esse teste no século passado.

E disse que 98% das pessoas não consegue resolvê-lo sem errar pelo menos uma vez.

Faça esse teste com calma e com tempo, pois as associações não são diretas.

O objetivo é descobrir qual a nacionalidade de quem cria peixe.

1. Há 5 casas de diferentes cores.
2. Em cada casa mora uma pessoa de uma diferente nacionalidade
3. Esses proprietários bebem diferentes bebidas, fumam diferentes marcas de cigarro e têm diferentes animal de estimação.

Dicas

O inglês vive na casa vermelha.
O sueco tem cachorros como animais de estimaçao.
O dinamarquês bebe chá.
A casa verde fica à esquerda da casa branca.
O dono da casa verde bebe café.
A pessoa que fuma Pall Mall cria pássaros.
O dono da casa amarela fuma Dunhill.
O homem que vive na casa do centro bebe leite.
O norueguês vive na primeira casa.
O homem que fuma Blends vive ao lado do que tem gatos.
O homem que cria cavalos vive ao lado do que fuma Dunhill.
O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja.
O alemão fuma Prince.
O norueguês vive ao lado da casa azul.
O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe água.


Sendo que:

animais: Cachorro, Cavalo, Gato, Pássaros, Peixe

bebidas: Água, Café, Cerveja, Chá, Leite

cores: Amarela, Azul, Branca, Verde, Vermelha

nacionalidades: Alemão, Dinamarquês, Inglês, Norueguês, Sueco

cigarros: Blends, Bluemaster, Dunhill, Pall Mall, Prince

Problemas clássicos

Existem problemas que são praticamente milenares na matemática, entre eles estão os famosos problemas de torneiras. Veja alguns exemplos abaixo:

Torneiras

Os problemas envolvendo torneiras que enchem ou esvaziam tanques existem no imaginário de muitos, uma vez que a determinada altura estes eram muito comuns no ensino da matemática em Portugal.
Um problema tipo de torneiras é o seguinte:

Uma pipa tem 4 tornos e destapando o primeiro torno esvazia em 6 horas e tapando o primeiro torno e destapando o segundo esvazia esta pipa em 5 horas e tornando a tapando este e destapando o terceiro esvazia a dita pipa em 4 horas e tapando o terceiro e destapando o demais que é o quarto esvazia esta pipa em três horas. Ora eu pergunto, destapando todos os quatro toros em quantas horas esta dita pipa fica vazia.

(Gaspar Nicolas, fol 62 v. e 63)

Esta versão do problema é retirada da primeira aritmética impressa em Portugal, cuja primeira edição é de 1519.

A primeira versão do problema

A primeira versão deste problema parece ter aparecido praticamente em simultâneo tanto na Alexandria como na China.
Na Alexandria, Herão (10? - 75?), no seu livro Metrica, enuncia dois problemas envolvendo cisternas, os quais, segundo David Singmaster, têm resoluções confusas e erradas.
Na China, o problema aparece no capítulo VI do livro Nove capítulos da Arte Matemática, de cerca do século I a.C. Ao contrário do que acontecia no livro de Herão de Alexandria, a solução, aqui apresentada, é correcta:

Um reservatório tem cinco canais que o enchem de água. Quando, apenas, o primeiro está aberto, o reservatório enche-se em 1/3 de um dia. O segundo canal enche o reservatório num dia, o terceiro canal em 2 1/2, o quarto em 3 dias e o quinto em 5 dias. Se se abrirem todos os canais, quanto tempo levará a encher o reservatório?
Solução: Em 15/74 dias

Problema 26 do capítulo VI, de Nove Capítulo da Arte Matemática



O problema nas diferentes civilizações

Grécia
O problema aparece nos textos do matemático grego Diofanto (sécúlo III).
A Antologia Grega (cerca do século V), contém quatro problemas envolvendo fontes (ou bicas) de água e de vinho.

Índia
O manuscrito de Bakhshali contém vários problemas deste tipo, incluindo um com 7 proporções diferentes.
O autor hindu Brahamagupta, séc. VII, no seu livro
Brahmasphutasiddhanta apresenta o mesmo problema, com quatro fontes a encherem uma cisterna.
O matemático hindu Mahavira, do século IX, no seu tratado Ganita-Sâra-Sangraha, apresenta também uma versão deste problema, com 4 torneiras a encherem um poço.
Mais tarde, no século XII, Bhaskara II, no seu livro Lilavati, apresenta exactamente o mesmo problema no verso 104.

Arménia
O matemático arménio, Anania de Shirak (século VII), apresenta o seguinte problema, onde um reservatório de água é cheio através de 3 diques.

Há um reservatório em Atenas.
Se abrirmos o dique A, o reservatório ficará cheio numa hora. Abrir o dique B, encherá o reservatório em 2 horas, e abrir o dique C, encherá em 3 horas. Quando estará o reservatório cheio de água se abrirmos os três diques?

(citado por Shen Kangshen et al.)
Europa
Maior parte das aritméticas publicadas na Europa a partir do século XIII continham uma versão destes problema.

Outras versões do problema

Este problema, como muitos outros, embora tendo inicialmente sido formulado tendo em conta questões da vida diária, evoluiu e sofreu transformações.
No livro de Gaspar Nicolas, citado acima, aparecem, além de uma versão com uma pipa com 3 tornos, as duas versões seguintes, cujo contexto muda radicalmente:

Uma nau vai daqui de Lisboa à ilha da Madeira com três vela que tem, desta maneira: com a primeira vela vai à ilha em três dias, com a vela mais pequena e com a outra vela maior vai à dita ilha em dois dias e com a outra vela maior vai à ilha em um dia. Ora eu pergunto, desferindo todas as velas e sendo o mar e o vento todo da mesma maneira em quantos dias estará esta nau na dita ilha.

(Gaspar Nicolas, fol 63 v.)

Filippo Maria Calandri (1485)

Se te disserem que um homem quer fazer uma torre de pedra e um pedreiro prometeu-lhe a fazer em três dias e outro prometeu fazê-la em dois dias e outro em um dia e o senhor da torre mandou que todos os três trabalhassem na torre para que ser feita num tempo mais breve. Ora eu pergunto, em quanto tempo será feita a dita torre.

(Gaspar Nicolas, fol 64.)


A influência do comércio marítimo levou muitos autores a apresentarem versões como a de Gaspar Nicolas, sobre as naus. Muitas outras versões aparecem nas aritméticas europeias medievais e da época renascentista, e mesmo nos manuais escolares do século XX.
O problema foi, evidentemente, sofrendo diversas modificações ao longo dos tempos.

Uma das primeiras versões que apareceu na Europa, foi a seguinte versão, incluída no livro de Fibonacci, Liber Abaci (século XIII):

Um leão come uma ovelha em 4 horas; um leopardo comê-lo-á em 5 horas e um urso de 6 horas. Se se der uma ovelha aos três, quanto tempo demorará a devorarem-na?

Esta mesma versão aparece noutros textos, os animais, ou os tempos podem variar mas essencialmente a versão é a mesma. Por exemplo, a seguinte versão aparece no livro de Pietro Cataneo, Le Pratiche, 1546:

Um leão come uma serpente em 2 horas; um urso comê-la-á em 3 horas e um leopardo em 4 horas. Se se der uma serpente aos três, quanto tempo demorará a devorarem-na?

No manuscrito de Filippo Maria Calandri (1485) aparece o seguinte problema:

Um leão come uma cabra em 2 dias; uma raposa come-a em 3 dias e um lobo em 5 dias. Quanto tempo levam os animais a comer a dita cabra?

No manuscrito de Chuquet (1484), aparece a seguinte versão:

Se deve cortar a erva de um prado.
O pai diz ao filho: “Se me ajudares durante 8 minutos, conseguirei cortar a erva em 20 minutos.”
O filho responde: “ Se me ajudares durante 10 minutos, conseguirei cortar a erva em 15 minutos”.
Quanto tempo demora cada um a cortar a erva sozinho?

Na aritmética, Larismetique nouellement composee, do matemático francês Estienne de la Roche, discípulo de Chuquet, de 1520, aparece a seguinte versão:

Um homem tem 100 cargas de trigo para moer em três moinhos que não moem todos da mesma forma, o primeiro moí-as em 4 dias, o segundo em 5 e o terceiro em 10.
Em quanto tempo os moerão entre os três e quantas cargas moerá cada um?

Na aritmética do inglês Cuthbert Tunstall, publicada em 1522, aparece o seguinte problema, cujo contexto é semelhante ao anterior:

De arte supputandi libri quattuor

Um moinho tem cinco rodas. A primeira roda moí 7 staria de cereal numa hora, a segunda roda moí 5 staria de cereal numa hora, a terceira roda moí 3 staria de cereal numa hora, a quarta roda moí 2 staria de cereal numa hora e a outra roda moí 1 staria de cereal numa hora. Em quantas horas moem todas juntas 50 staria?


Na aritmética do holandês Gemma Frisius, de 1540, aparece ainda uma outra versão do problema:

Um homem consegue beber uma pipa de vinho em 20 dias, mas se a sua mulher beber com ele, levará apenas 14 dias, quanto tempo demora a mulher a beber a pipa sozinha.

Na Arithmetica Practica, de 1604, do espanhol Jerónimo Cortés, aparece a seguinte versão, cujo contexto é semelhante ao anterior:

Se 4 flamengos bebem 10 cântaros de vinho em 3 dias, e 5 espanhóis bebem 20 cântaros em 6 dias, pergunta-se, bebendo todos juntos, em quantos dias beberão uma pipa de 60 cântaros?

Na Arithmetica, de 1682, do espanhol Andrés Puig, aparece a seguinte versão:

O Rei, nosso Senhor, mandou fazer uma fortaleza, para a qual mandou chamar 3 oficiais, o primeiro dos quais, com a sua gente, prometeu fazê-la em 20 meses. O segundo em 15. E o terceiro em 12 meses.
Pergunta-se, para que se faça em menos tempo, trabalhando os três oficiais juntos, dentro de quantos meses a têm acabada?


História de Bháskara

Os conteúdos abaixo podem ser encontrados no site http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/bhaka.html, sendo uma cópia do site da universidade.

Bhaskara Akaria (em canarês: ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ; 1114-1185, Vijayapura, Índia) foi um matemático, professor, astrólogo e astrônomo indiano, o mais importante matemático do século XII e último matemático medieval importante da Índia.

Filho de um astrólogo famoso chamado Mahesvara, tornou-se conhecido pela complementação da obra do conterrâneo Brahmagupta, por exemplo dando pioneiramente a solução geral da conhecida equação de Pell e a solução de um problema da divisão por zero, ao afirmar também pioneiramente, em sua publicação Vija-Ganita ou Bijaganita, um trabalho em 12 capítulos, que tal quociente seria infinito.

Tornou-se chefe do observatório astronômico a Ujjain, cidade onde ficou até morrer e o principal centro matemático da Índia na sua época, fama desenvolvida por excelentes matemáticos como Varahamihira e Brahmagupta, que ali tinham trabalhado e construído uma forte escola de astronomia matemática.

Sua obra representou a culminação de contribuições hindus anteriores. Seis trabalhos seus são conhecidos e um sétimo trabalho, reivindicado para ele, é considerado por muitos historiadores como uma não falsificação posterior.

Bhaskara descobriu a fórmula de Bhaskara ?

Bhaskara a pessoa

Bhaskara Acharya ( B. o Instruído ) viveu de 1 114 a 1 185 aprox., na India.

Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática e astronômica ( tais como o cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas ) que dá sustentação à Astrologia.

Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da India, na época.

Qual seu livro mais famoso ?

E' o Lilavati, um livro bem elementar e dedicado a problemas simples de Aritmética, Geometria Plana ( medidas e trigonometria elementar ) e Combinatória.
A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher ( a tradução é Graciosa ), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da Aritmética.
Numa tradução turca desse livro, 400 anos depois, foi inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha que não pode se casar. Justamente essa invenção é que tornou-o famoso entre as pessoas de pouco conhecimento de Matemática e de História da Matemática. Parece, também, que os professores estão muito dispostos a aceitarem estórias românticas em uma área tão abstrata e difícil como a Matemática; isso parece humanizá-la mais.

Então, não escreveu nenhum livro importante ?

Ao contrário! Ele escreveu dois livros matematicamente importantes e devido a isso tornou-se o matemático mais famoso de sua época. Esses livros são:
  • o Siddhanta-siromani, dedicado a assuntos astronômicos e dividido em duas partes:
    • Goladhyaya ( Esfera Celeste )
    • Granaganita ( Matemática dos Planetas )
  • o Bijaganita que é um livro sobre Álgebra [ os indianos foram os pais da Álgebra e a chamavam de Outra (= Bija ) Matemática ( = Ganita), pois nasceu depois da matemática tradicional que dedicava-se aos cálculos aritméticos e geométricos ].
    Bhaskara gasta a maior parte desse livro mostrando como resolver equações . Embora não traga nenhuma novidade quanto à resolução das equações determinadas, ele traz muitos novos e importantes resultados sobre as indeterminadas. Para os matemáticos, é exatamente nas suas descobertas em equações indeterminadas que reside sua importância histórica.

    equações INDETERMINADAS ou diofantinas:
    chamamos assim às equações ( polinomiais e de coeficientes inteiros ) com infinitas soluções inteiras, como é o caso de :
    • y - x = 1 que aceita todos os x = a e y = a + 1 como soluções , qualquer que seja o valor de a
    • a famosa equação de Pell x2 = N y2 + 1
      Bhaskara foi o primeiro a ter sucesso na resolução dessa equação, para isso introduzindo o método do chakravala ( ou pulverizador )

Mas, e a fórmula de Bhaskara ?

  • Bhaskara nem sabia o que é uma fórmula
    As fórmulas surgem na Matemática só 400 anos depois de sua morte, consequentemente, não poderia ele ter descoberto fórmula nenhuma.
  • Naquela época, como eram resolvidas as equações ?
    Usando REGRAS !
    Chamamos de regra à uma descrição por extenso dos procedimentos para resolver um problema, por exemplo uma equação. Na época de Bhaskara essas regras, tipicamente, tinham a forma de poesias que iam descrevendo as operações a realizar para resolver o problema.

    A partir de Aryabhata 500 dC, e possivelmente muito antes, os indianos já usavam várias regras para resolver equações do segundo grau. Entre essas, destacamos a seguinte que tem uma formulação muito próxima do procedimento que hoje usamos:

    EXEMPLO:
    para resolver as equações quadráticas da forma ax2 + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra:
    "multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso"

    É também muito importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver x2 = px + q e x2 + px = q.
    Foi só na Era das Fórmulas, inaugurada com a Logistica Speciosa de François Viète c. 1 600 dC, que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um grau dado.

  • Bhaskara conhecia a regra acima ?
    Sim, conhecia.
  • Essa regra foi descoberta por Bhaskara ?
    Não! Ela JA' era do conhecimento de, no mínimo, o matemático Sridara, que viveu há mais de 100 anos antes de Bhaskara Acharya.

Resumindo o envolvimento de Bhaskara com equações do segundo grau

  • Quanto a equações DETERMINADAS do segundo grau:
    No Lilavati, Bhaskara não trata de equações quadráticas determinadas e o que ele faz sobre isso no Bijaganita e' mera cópia do que já tinham escrito outros matemáticos.
  • Quanto a equações INDETERMINADAS do segundo grau:
    Aí ele realmente fez grandes contribuições e essas estão expostas no Bijaganita. Pode-se dizer que essas contribuições, principalmente a invenção do método iterativo do chakravala e sua modificação do clássico método kuttaka correspondem ao ápice da matemática indiana clássica, podendo-se acrescentar que é somente com Euler e Lagrange que voltaremos a encontrar desenvoltura técnica e fertilidade de idéias de porte comparáveis.


terça-feira, 10 de fevereiro de 2009

lista de exercícios de matemática básica

10/02/2009 - Prof. Max Deyvis - sugestão de atividade
1. (UFCE) O expoente do número 3 na decomposição por fatores primos positivos do número natural abaixo é igual a


a) 6.
b) 5.
c) 4.
d) 3.
e) 2.

2. Ema divisão entre dois números inteiros o quociente é 8, o divisor 12 e o resto o maior possível, logo o dividendo será:
a) 20
b) 96
c) 106
d) 107
e) 108

3. João procurou duas empresas A e B para adquirir um telefone fixo. Na empresa A paga-se R$ 18,00 pela assinatura e mais 20 centavos por minuto utilizado. Já na empresa B paga-se R$ 20,00 pela assinatura e mais 15 centavos por minuto. Para que João gaste o mesmo valor contratando qualquer uma das empresas ele deverá utilizar o telefone por:
a) 25 minutos
b) 30 minutos
c) 35 minutos
d) 40 minutos
e) 45 minutos

4. Considere uma vara de bambu cujos gomos medem 3 cm cada um. O número que mede, em cm, a altura total da vara possui três algarismos e é tal que
· O algarismo das unidades é ímpar.
· O algarismo das dezenas é o quádruplo do algarismo das centenas.
Logo o menor número de gomos que esta vara de bambu pode ter será:
a) 41
b) 43
c) 45
d) 47
e) 49

5. Joaquim desenhou o terreno de sua casa em uma escala de 1:120, conforme ilustração abaixo.


Se o preço do m2 do terreno de Joaquim é R$ 55,00, então o valor do terreno de Joaquim será:
a) R$ 11.325,00 d) R$ 11.994,00
b) R$ 11.484,00 e) R$ 12.324,00
c) R$ 11.824,00


6. (UFGD) Três amigos resolveram fazer uma viagem de Dourados a Ponta Porã rateando as despesas de combustível. O primeiro contribuiu com 12 litros de combustível, o segundo com 15 litros, quantidade que é suficiente para a viagem. O terceiro contribuiu com R$ 24,30 a serem divididos entre os dois primeiros, de modo que o rateio entre os três ficasse proporcional. Pode-se concluir que aquele que contribuiu com 12 litros de combustível recebeu
a) R$ 10,80
b) R$ 8,80
c) R$ 9,80
d) R$ 10,10
e) R$ 8,10

7. (UFGD) Batman e Robin estão em Campo Grande jogando bozó. Decidiram que o perdedor pagaria R$ 1,00 ao vencedor na primeira rodada, R$ 2,00 na segunda, R$ 4,00 na terceira, e assim sucessivamente, sempre dobrando o valor. Robin começou o jogo com R$ 25,00, mas, após 5 (cinco) rodadas, havia perdido todo seu dinheiro. Nas três primeiras rodadas,Robin, na seqüência,
a) perdeu, ganhou, perdeu.
b) ganhou, ganhou, perdeu.
c) ganhou, perdeu, ganhou.
d) perdeu, perdeu, ganhou.
e) ganhou, perdeu, perdeu.

8. (UFMS) Encontre o número que, dividido por 15, dá quociente 178 e resto 7. Depois, some os quatro algarismos desse número. Qual é o resultado?
a) 24.
b) 22.
c) 20.
d) 18.
e) 15.

9. (UFMS) Uma torta de morangos, dividida em pedaços iguais, foi colocada à venda em uma confeitaria. Em meia hora, 3/4 da torta já haviam sido vendidos, restando apenas 6 pedaços. Em quantos pedaços a torta foi dividida ?
a) 6.
b) 7.
c) 24.
d) 26.
e) 28.

10. (UFMS) Um quadrilátero tem os quatro lados iguais e não é quadrado. Seu nome é:
a) retângulo.
b) losango.
c) trapézio.
d) paralelogramo.
e) triângulo.